Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Разложим числитель первой дроби как квадратное уравнение относительно $y$: $y^2-(x+1)y+(3x-6)=0$. Дискриминант $D=(x+1)^2-4(3x-6)=(x-5)^2$, поэтому корни $y=\dfrac{(x+1)\pm(x-5)}2$, то есть $y=x-2$ или $y=3$. Значит числитель равен $(y-x+2)(y-3)$.

Область определения дроби: под корнями должно быть $x+2\ge0$ и $6-x>0$, т.е. $-2\le x<6$. Дробь равна нулю, если числитель равен нулю или $x=-2$ (тогда числитель умножается на $\sqrt{x+2}=0$, и равенство выполняется для любого $y$).

Таким образом первое уравнение задаёт на полосе $-2\le x<6$ три части графика: вертикальную прямую $x=-2$ (любой $y$), диагональ $y=x-2$ и горизонтальную прямую $y=3$ (последние две — при $-2\le x<6$).

Второе уравнение $x+y=a$ — семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $-1$, сдвигающихся при изменении $a$. Нужно найти, при каких $a$ прямая пересекает построенный график ровно в двух точках.

Проверим пересечения с каждой частью:

Совпадения точек происходят при $a=-6$ (вертикаль=диагональ), $a=1$ (вертикаль=горизонталь), $a=8$ (диагональ=горизонталь). В этих точках число различных решений уменьшается на единицу.

Считая количество различных пересечений на каждом промежутке, получаем: при $a<-6$ и $a\ge10$ — 1 решение; при $-6<a\le1$ и при $9\le a<10$ — 2 решения; при $1<a<8$ и $8<a<9$ — 3 решения; при $a=8$ — 2 решения (совпадение диагонали и горизонтали).

Следовательно, ровно два решения получаются при $a\in(-6;1]\cup\{8\}\cup[9;10)$.