Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Если $a=0$, второе уравнение даёт единственную точку $(0;0)$, но она не удовлетворяет первому уравнению (получаем $0=-9$), значит система несовместна — этот случай не подходит.

При $a\neq0$ уравнение $x^2+y^2=a^2$ задаёт окружность с центром в начале координат и радиусом $|a|$.

Вычтем из первого уравнения второе: $6x+8y-9=a^2$, то есть $6x+8y-9-a^2=0$ — это прямая. Значит система равносильна пересечению этой прямой с окружностью радиуса $|a|$.

У системы будет ровно два решения, если прямая пересекает окружность в двух точках, а это происходит тогда и только тогда, когда расстояние от центра окружности (точки $(0;0)$) до прямой меньше радиуса.

Расстояние по формуле $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ равно $d=\dfrac{|{-9-a^2}|}{\sqrt{36+64}}=\dfrac{9+a^2}{10}$.

Условие $d<|a|$ даёт $\dfrac{9+a^2}{10}<|a|\Rightarrow a^2-10|a|+9<0\Rightarrow(|a|-1)(|a|-9)<0\Rightarrow 1<|a|<9$.

Раскрывая модуль, получаем $a\in(-9;-1)\cup(1;9)$ — при этих значениях прямая пересекает окружность ровно в двух точках, значит система имеет ровно два решения.