Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Первое уравнение задаёт объединение двух кривых, потому что $(x^2-6x-y+2)\sqrt{x-y+2}=0$ равносильно $x-y+2=0$ (вся прямая $y=x+2$), либо $x^2-6x-y+2=0$ при условии $x-y+2\ge0$, то есть части параболы $y=x^2-6x+2$, лежащей не выше прямой $y=x+2$.

Найдём, где парабола и прямая пересекаются: $x^2-6x+2=x+2 \Rightarrow x^2-7x=0 \Rightarrow x=0$ или $x=7$, точки $(0;2)$ и $(7;9)$. Между этими точками парабола ниже прямой, вне — выше.

Прямая $y=4x+a$ не параллельна $y=x+2$ (разные угловые коэффициенты), поэтому всегда даёт ровно одну точку пересечения с прямой $y=x+2$ — это решение всегда есть, значит нужна ровно ещё одна «эффективная» точка от параболы.

1. Касание параболы: $x^2-6x+2=4x+a \Rightarrow x^2-10x+(2-a)=0$. Одно решение при $D=0$: $100-4(2-a)=0 \Rightarrow a=-23$, точка касания $x=5$, $y=-7$, и $-7<5+2$, значит она входит в нужную часть параболы — даёт ровно 2 решения всей системы.

2. Два пересечения с параболой, но одно из них ровно на границе (совпадает с точкой пересечения прямых), а другое — строго ниже прямой $y=x+2$. Это происходит, когда прямая проходит строго ниже $(0;2)$, но не ниже $(7;9)$: $a<2$ и $a\ge-19$.

Объединяя оба случая, получаем ответ.