Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. ОДЗ первого уравнения: $x+4>0$, т.е. $x>-4$ (корень в знаменателе должен быть положительным).

2. Разложим числитель на множители: $xy^2-2xy-4y+8=(y-2)(xy-4)$. Значит первое уравнение равносильно $(y-2)(xy-4)=0$ при $x>-4$.

3. Подставим $y=ax$ (второе уравнение системы): $(ax-2)(ax^2-4)=0$, $x>-4$.

4. Это совокупность $ax=2$ и $ax^2=4$ при условии $x>-4$.

5. При $a=0$ оба уравнения не имеют решений — система пуста.

6. Для $a\ne0$: из $ax=2$ получаем $x_1=\dfrac{2}{a}$. Условие $x_1>-4$ даёт $a>0$ или $a<-\dfrac12$.

7. Из $ax^2=4$ (требует $a>0$) получаем $x_{2,3}=\pm\dfrac{2}{\sqrt a}$. Корень $x_2=\dfrac{2}{\sqrt a}$ всегда $>0>-4$, а $x_3=-\dfrac{2}{\sqrt a}>-4$ только при $a>\dfrac14$.

8. При $a>0$ корни $x_1$ и $x_2$ совпадают, если $\dfrac{2}{a}=\dfrac{2}{\sqrt a}\Rightarrow a=1$.

9. Считаем число различных корней: при $0<a\le\dfrac14$ есть только $x_1,x_2$ (различны) — 2 решения. При $\dfrac14<a<1$ появляется и $x_3$ — 3 решения. При $a=1$ $x_1=x_2$, а $x_3$ отличен — снова ровно 2 решения. При $a>1$, $a\ne1$ — снова 3 решения. При $a<-\dfrac12$ — только $x_1$, т.е. 1 решение.

Итого система имеет ровно два решения при $0<a\le\dfrac14$ и при $a=1$.