Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Область определения: знаменатель $\sqrt{x+3}$ должен быть положительным, значит $x>-3$.

2. Разложим числитель: $xy^2-3xy-3y+9=y(xy-3)-3(xy-3)=(y-3)(xy-3)$. Значит первое уравнение равносильно $(y-3)(xy-3)=0$ при $x>-3$.

3. Подставим $y=ax$: получаем совокупность $ax=3$ или $ax^2=3$, с условием $x>-3$.

4. При $a=0$ оба уравнения не имеют решений — 0 решений.

5. При $a\ne0$: из $ax=3$ получаем $x_1=\dfrac{3}{a}$. Условие $x_1>-3$ даёт $\dfrac{1+a}{a}>0$, то есть $a<-1$ или $a>0$.

6. Из $ax^2=3$ решения существуют только при $a>0$: $x_2=\sqrt{3/a}>0$ (всегда подходит), $x_3=-\sqrt{3/a}$, и $x_3>-3$ выполняется при $a>1/3$.

7. Проверим совпадения корней. $x_1=x_2$ даёт $3/a=\sqrt{3/a}$, то есть $3/a=1$, $a=3$. $x_1=x_3$ невозможно (разные знаки), $x_2=x_3$ невозможно.

8. Считаем число различных решений: при $0<a\le1/3$ есть только $x_1,x_2$ — ровно 2 решения. При $a>1/3,\,a\ne3$ — три различных корня $x_1,x_2,x_3$, решений больше двух. При $a=3$ $x_1=x_2$, остаётся два различных значения $x$ ($1$ и $-1$) — снова 2 решения. При $a<-1$ есть только $x_1$ — одно решение.

Итог: система имеет ровно два решения при $0<a\le\dfrac13$ и при $a=3$.