Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Первое уравнение системы решаем методом разложения. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, но корень требует неотрицательности подкоренного выражения:

$$(xy - 2x + 12)\sqrt{y - 2x + 12} = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} xy - 2x + 12 = 0 \\ y - 2x + 12 \geq 0 \end{cases} \text{ или } y - 2x + 12 = 0$$

Из первого условия: $y = -\frac{12}{x} + 2$ при $y \geq 2x - 12$ (часть гиперболы над прямой).

Из второго: $y = 2x - 12$ (прямая).

Найдём пересечение гиперболы и прямой: $$-\frac{12}{x} + 2 = 2x - 12 \Rightarrow x^2 - 7x + 6 = 0$$

Решая: $x = 1$ или $x = 6$, получаем точки $A(1; -10)$ и $B(6; 0)$.

Второе уравнение $y = 3x + a$ — семейство параллельных прямых. Ищем количество пересечений с графиком первого уравнения.

Граничные положения:

1. Прямая через $B(6; 0)$: $0 = 18 + a \Rightarrow a = -18$

2. Прямая через $A(1; -10)$: $-10 = 3 + a \Rightarrow a = -13$

3. Касание гиперболы: условие $\left(-\frac{12}{x} + 2\right)' = 3$ даёт $\frac{12}{x^2} = 3$, откуда $x = \pm 2$.

При $x = 2$: $y = -4$, значит $-4 = 6 + a \Rightarrow a = -10$

При $x = -2$: $y = 8$, значит $8 = -6 + a \Rightarrow a = 14$

Анализ количества решений:

• $-18 < a \leq -13$: прямая пересекает прямую и дугу гиперболы — два решения
• $a = -10$: касание гиперболы в одной точке плюс пересечение прямой — два решения
• $a = 14$: касание гиперболы в другой точке плюс пересечение прямой — два решения

При других значениях число решений не равно двум.