Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Уравнение $(x^2+y^2-2)\sqrt{A}=0$, где $A=(y+ax-1)(y+ax)$, распадается на два непересекающихся случая: 1) $A=0$ (корень тогда определён и равен нулю) и 2) $x^2+y^2-2=0$ при $A>0$ (иначе решение уже учтено в первом случае). Значит исходная система равносильна объединению систем $$(*)\ \{A=0,\ |x|+|y|=2\},\qquad (**)\ \{x^2+y^2=2,\ |x|+|y|=2,\ A>0\}.$$ Прямые $y=-ax$ и $y=-ax+1$ проходят через точки $(0,0)$ и $(0,1)$, лежащие внутри квадрата $|x|+|y|=2$; каждая прямая через внутреннюю точку выпуклой фигуры пересекает её границу ровно в двух точках, а сами прямые не совпадают. Поэтому система (*) при любом $a$ даёт ровно 4 решения. Окружность $x^2+y^2=2$ вписана в квадрат и касается его сторон в точках $(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)$ — это единственные общие точки окружности и квадрата. Значит решения (**) — это те из этих четырёх точек, где $A>0$. Чтобы всего получилось 7 решений, нужно, чтобы ровно 3 из четырёх точек давали $A>0$. Подставляя координаты, получаем неравенства: $(1,1)$: $a(a+1)>0$; $(1,-1)$: $(a-2)(a-1)>0$; $(-1,1)$: $a(a-1)>0$; $(-1,-1)$: $(a+2)(a+1)>0$. Анализируя знаки на промежутках между критическими точками $-2,-1,0,1,2$ (с проверкой самих этих точек), находим, что ровно три из четырёх неравенств выполняются при $a\in[-2;-1)\cup(-1;0)\cup(0;1)\cup(1;2]$.