Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Симметрия: если пара $(x;y)$ — решение, то и $(x;-y)$ тоже, так как в системе $y$ входит только через $y^2$ и $y^4$. Значит решения разбиваются на пары $\{(x,y),(x,-y)\}$, кроме случаев $y=0$. Нечётное число решений (пять) возможно только если ровно один "одиночный" корень с $y=0$, а остальные образуют две пары ($1+2+2=5$).

2. Найдём $a$, при которых $(x;0)$ — решение. Подставляя $y=0$: $$a(0+2)=x+1-0,\quad x^2+0=9.$$ Отсюда $x=\pm3$, а из $2a=x+1$: при $x=-3$ получаем $a=-1$; при $x=3$ получаем $a=2$.

3. Проверим $a=-1$. Система принимает вид $$x=y^4-y^2-3,\qquad x^2+y^2=9.$$ Введём $t=y^2\ge0$: $$x=t^2-t-3,\qquad t=9-x^2.$$ Каждому $t>0$ соответствуют два значения $y=\pm\sqrt t$, а $t=0$ — одно ($y=0$). Графики этих двух уравнений на плоскости $xOt$ пересекаются в трёх точках при $t\ge0$: одна с $t=0$ и две с $t>0$. Значит исходная система даёт $1+2+2=5$ решений — подходит.

4. Проверим $a=2$: система сводится к $x=y^4+2y^2+3,\ t=9-x^2$, и графики пересекаются лишь в одной точке $(3;0)$, то есть решение только одно — не подходит.

Следовательно, условию удовлетворяет только $a=-1$.