Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Разберём первое уравнение по знаку $y$. — Если $y=0$, равенство выполняется при любом $x$: получаем весь луч $y=0$ (ось Ox). — Если $y>0$, то $|y|=y$, уравнение упрощается: $xy+3x^2=xy-3x^2+24 \Rightarrow 6x^2=24 \Rightarrow x=\pm2$. Значит, при $y>0$ решения лежат на двух вертикальных лучах $x=2,\;y>0$ и $x=-2,\;y>0$. — Если $y<0$, то $|y|=-y$, аналогично получаем $xy=-12 \Rightarrow y=-\dfrac{12}{x}$. Так как $y<0$, это верно только при $x>0$ — ветвь гиперболы в правой полуплоскости, ниже оси Ox.

Таким образом, множество решений первого уравнения — это ось Ox, два вертикальных луча из точек $A(-2;0)$ и $B(2;0)$ вверх, и ветвь гиперболы $y=-12/x$ при $x>0$.

2. Второе уравнение задаёт прямую $y=3x+2a$ с фиксированным наклоном 3 и меняющимся сдвигом $2a$ — при изменении $a$ прямая двигается параллельно самой себе.

3. Так как наклон прямой не равен нулю, она всегда пересекает ось Ox ровно в одной точке — это всегда одно решение системы. Чтобы всего было 2 решения, нужно, чтобы прямая давала ровно одну дополнительную точку пересечения с лучами или с гиперболой (или чтобы пересечение с осью совпало с концом луча, тогда считается один раз, но добавляется пересечение с гиперболой).

4. Прямая проходит через точку $A(-2;0)$: $0=-6+2a\Rightarrow a=3$ — здесь пересечение с осью совпадает с началом левого луча, и одновременно есть касание с гиперболой (проверяется отдельно) — даёт ровно 2 решения. Прямая проходит через точку $B(2;0)$: $0=6+2a\Rightarrow a=-3$ — здесь пересечение с осью совпадает с началом правого луча, но при этом других пересечений нет, получаем только 1 решение (это граница, где меняется число решений).

5. Найдём касание прямой с гиперболой: подставим в $y=-12/x$: $-\dfrac{12}{x}=3x+2a \Rightarrow 3x^2+2ax+12=0$. Для касания нужен нулевой дискриминант: $\dfrac{D}{4}=a^2-36=0 \Rightarrow a=\pm6$. Точка касания $x=\pm2$; нужная ветвь ($x>0$) соответствует $a=-6$ (тогда $x=2$, $y=-6<0$ — подходит), а $a=6$ даёт $x=-2$, что не входит в область $x>0$, поэтому не подходит.

6. Собирая все случаи (анализ количества пересечений прямой с каждой частью множества при разных положениях), получаем, что ровно 2 решения система имеет при $a=-6$ (касание с гиперболой без дополнительных пересечений) и при $-3<a\le3$ (прямая пересекает один из лучей и ось, либо проходит через точку A). Итого: $a\in\{-6\}\cup(-3;3]$.