Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Разбираем второе уравнение. Перепишем $xy-1=x-y$ как $xy-1-x+y=0$, сгруппируем: $x(y-1)+(y-1)=0$, то есть $(x+1)(y-1)=0$. Значит второе уравнение равносильно совокупности $x=-1$ или $y=1$ — все решения системы лежат на этих двух прямых.

Подставляем $x=-1$ в первое уравнение. Получаем $(a+1)y^2+(a+1)y+4=0$. При $a=-1$ уравнение превращается в $4=0$ — решений нет. Иначе это квадратное уравнение с дискриминантом $D=(a+1)^2-16(a+1)=(a+1)(a-15)$. Два различных корня по $y$ существуют при $D>0$, то есть при $a<-1$ или $a>15$.

Подставляем $y=1$. Получаем $(a+1)x^2+(a-1)x+2a+4=0$. При $a=-1$ уравнение линейное — не даёт двух корней. Для остальных $a$ дискриминант $D=-7a^2-26a-15$, его нули $a=-3$ и $a=-5/7$. Значит два корня по $x$ существуют при $-3<a<-1$ или $-1<a<-5/7$.

Учитываем общее решение. Точка $(-1,1)$ удовлетворяет обеим прямым сразу, поэтому если она входит в оба набора решений, реальное число решений уменьшается на 1 — нужно исключить соответствующее $a$. Подставив $x=-1,\,y=1$ в первое уравнение, получаем $2a+6=0$, то есть $a=-3$ — при этом значении точка совпадает, поэтому его нужно исключить из объединения условий.

Собираем условие ровно четырёх решений. Нужно одновременно: (два корня по $y$) И (два корня по $x$) И $a\neq-3$. Пересечение $\{a<-1\text{ или }a>15\}$ и $\{-3<a<-1\text{ или }-1<a<-5/7\}$ с исключением $a=-3$ даёт единственный промежуток $-3<a<-1$.