Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Уберём модуль в первом уравнении $(x-2)(y+2x-4)=|x-2|^3$, разбив на случаи. • При $x>2$: $|x-2|^3=(x-2)^3$, делим обе части на $(x-2)\ne0$: $y+2x-4=(x-2)^2$, отсюда $y=x^2-6x+8$ — дуга параболы $\omega_1$ при $x\ge2$ с концом в точке $A(2;0)$. • При $x<2$: $|x-2|=2-x$, деление даёт $y=-x^2+2x$ — дуга параболы $\omega_2$ при $x\le2$ с тем же концом $A(2;0)$. • При $x=2$ обе части равны нулю при любом $y$, значит весь отрезок прямой $l:\;x=2$ входит в множество решений.

2. Второе уравнение $y=x+a$ — семейство прямых $m$ с угловым коэффициентом 1, сдвинутых по вертикали на $a$. Точка $A(2;0)$ лежит на $m$, когда $a=-2$.

3. Прямая $m$ всегда пересекает $l$ ровно в одной точке (любое $a$). Число пересечений с $\omega_1$ находим из уравнения $x^2-6x+8=x+a\Rightarrow x^2-7x+8-a=0$, дискриминант $D_1=17+4a$, обращается в 0 при $a=-\dfrac{17}{4}$ (касание). Для $\omega_2$: $-x^2+2x=x+a\Rightarrow x^2-x+a=0$, $D_2=1-4a=0$ при $a=\dfrac14$ (касание).

4. Анализ знаков корней с учётом ограничений $x>2$ и $x<2$ показывает: при $-\dfrac{17}{4}<a<-2$ прямая даёт 2 точки на $\omega_1$ и 1 точку на $\omega_2$, а при $-2<a<\dfrac14$ — 1 точку на $\omega_1$ и 2 точки на $\omega_2$. Вместе с единственной точкой на $l$ получаем ровно $1+2+1=4$ или $1+1+2=4$ решения соответственно.

5. Вне этих интервалов (включая границы) число решений отличается от четырёх (совпадения точек при касании или прохождении через $A$ уменьшают их количество).

Итог: система имеет ровно четыре решения при $-\dfrac{17}{4}<a<-2$ и $-2<a<\dfrac14$.