Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Введём замену $t=x^2$. Каждому $t>0$ соответствуют два значения $x$ (симметричные корни), значению $t=0$ — одно значение $x$, а при $t<0$ решений нет. Значит, исходная система с переменными $x,y$ имеет ровно 4 решения тогда и только тогда, когда система $$t^2+y^2=a^2,\quad t+y=|2a-4|,\quad t>0$$ имеет ровно 2 различных решения (каждому такому $t>0$ отвечают два значения $x$).

Если $a=0$, окружность вырождается в точку, и решений нет — не подходит.

При $a\ne0$ первое уравнение — окружность радиуса $|a|$ с центром в начале координат плоскости $tOy$, второе — прямая $y=-t+|2a-4|$ с угловым коэффициентом $-1$. Нас интересуют только точки пересечения с $t>0$, то есть правая половина окружности.

Прямая $y=-t+|a|$ проходит через точку $(|a|,0)$ — границу правой полуокружности, а прямая $y=-t+\sqrt2|a|$ касается окружности (расстояние от центра до прямой равно радиусу, так как $\dfrac{\sqrt2|a|}{\sqrt2}=|a|$). Двигая прямую $y=-t+c$ от $c=|a|$ до $c=\sqrt2|a|$, получаем ровно два пересечения с правой полуокружностью. Поэтому нужное условие: $$|a| < |2a-4| < \sqrt2\,|a|.$$

Возводим все части в квадрат (обе части неотрицательны, квадрат — монотонное преобразование для неотрицательных чисел): $$a^2 < (2a-4)^2 < 2a^2.$$

Это равносильно системе $$\begin{cases}(2a-4)^2-a^2>0\\(2a-4)^2-2a^2<0\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}(a-4)(3a-4)>0\\a^2-8a+8<0\end{cases}.$$

Первое неравенство раскладывается как $(a-4)\left(a-\dfrac43\right)>0$, откуда $a<\dfrac43$ или $a>4$.

Второе неравенство $a^2-8a+8<0$ имеет корни $a=4\pm2\sqrt2$, значит решение $4-2\sqrt2<a<4+2\sqrt2$.

Пересекая эти множества, получаем $$a\in(4-2\sqrt2;\,4/3)\cup(4;\,4+2\sqrt2).$$