Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Подставим $y=|x-a|-4$ во второе уравнение: $4\,\big||x-a|-4\big| = -x^2-8x$. Правая часть неотрицательна, значит рассматриваем лишь $x\in[-8;0]$ — верхнюю арку параболы $y=-x^2-8x$ с вершиной $(-4;16)$.

2. Левая часть — кусочно-линейная функция $y=4\big||x-a|-4\big|$. Это «W‑образная» ломаная: минимум внутри при $x=a$ (значение $0$ после внутреннего сдвига), а внешние вершины лежат в точках $(a-4;0)$, $(a+4;0)$, верхняя точка $(a;16)$. Наклоны всех звеньев равны $\pm4$.

3. Парабола симметрична относительно $x=-4$, поэтому удобно считать $a\ge-4$, а потом добавить симметричные значения относительно $-4$ (замена $a\to-8-a$ переводит одну ветвь в другую).

4. При $a=-4$ все три «изломные» точки ломаной лежат на параболе, и решений ровно 3 — это переходный случай, не подходит.

5. При $a>-4$ первая вершина ломаной попадает внутрь параболы: первые два звена дают по одному пересечению, третье — два (итого 4 решения), четвёртое — ни одного. Это продолжается, пока третье звено не станет касаться параболы.

6. Третье звено имеет уравнение $y=4(-x+a+4)$. Приравняв к параболе: $-x^2-8x=4(-x+a+4)$, получаем $x^2+4x+4(a+4)=0$. Условие касания — нулевой дискриминант: $D=16-16(a+4)=0 \Rightarrow a=-3$.

7. Значит, при $a\in(-4;-3)$ решений ровно 4, при $a=-3$ — три (касание), при $a>-3$ — меньше. По симметрии относительно $-4$ получаем ещё один промежуток $a\in(-5;-4)$.

Итог: $a\in(-5;-4)\cup(-4;-3)$.