Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Разбираем первое уравнение по частям. Произведение трёх множителей равно нулю — значит система распадается на три случая, каждый задаёт кривую. Из‑за модулей график симметричен относительно осей $Ox$, $Oy$, а также (после анализа) относительно прямых $y=x$ и $y=-x$. Поэтому достаточно построить график при $x\ge0,\;y\ge0$ и затем отразить.

При $x,y\ge0$ уравнение $(y+x^2-4)(x+y^2-4)(x^2+y^2-x-y)=0$ даёт совокупность: $$y=4-x^2,\qquad y=\sqrt{4-x},\qquad \left(x-\tfrac12\right)^2+\left(y-\tfrac12\right)^2=\tfrac12,$$ т.е. кусок параболы, кусок «перевёрнутой» параболы и дугу окружности с центром $(1/2;1/2)$. Достраивая по симметрии, получаем полную картину — четыре «лепестка» из парабол и вписанных дуг окружностей.

2. Второе уравнение $y-x=a$ — семейство прямых с угловым коэффициентом $1$, сдвигающихся при изменении $a$. Число решений системы равно числу точек пересечения прямой с построенным графиком.

3. Находим критические положения прямой (переходы числа пересечений).

• Касание с параболой $y=x^2-4$: $(x^2-4)'=1\Rightarrow x=0{,}5$, точка $A(0{,}5;-3{,}75)$, отсюда $a=-4{,}25$.
• Прохождение через точку стыка двух парабол $C$: из $x^2-4=-x$ при $x>0$ получаем $x=\dfrac{-1+\sqrt{17}}2$, $y=-x$, точка $C\left(\dfrac{-1+\sqrt{17}}2;\dfrac{1-\sqrt{17}}2\right)$, отсюда $a=1-\sqrt{17}$.
• Касание с дугой окружности $(x-\tfrac12)^2+(y+\tfrac12)^2=\tfrac12$ в точке $D(1;-1)$: $a=-2$.

4. Считаем число пересечений на каждом интервале, двигая прямую слева направо (по знаку углового коэффициента 1 все прямые параллельны):

• $a<-4{,}25$ — нет пересечений;
• $a=-4{,}25$ — 2 (касание);
• $-4{,}25<a<1-\sqrt{17}$ — 4;
• $a=1-\sqrt{17}$ — 3 (прямая проходит через угловую точку);
• $1-\sqrt{17}<a<-2$ — 4;
• $-2\le a\le0$ — больше 4 (пересекает сразу несколько дуг и парабол).

5. Используем симметрию графика относительно $y=x$ и $y=-x$: та же картина повторяется для положительных $a$ с заменой точек $A,C,D$ на симметричные им $B(3{,}75;-0{,}5)$ и т.д., что даёт критические значения $a=2,\;a=\sqrt{17}-1,\;a=4{,}25$, и на промежутках $2<a<\sqrt{17}-1$ и $\sqrt{17}-1<a<4{,}25$ также ровно 4 решения.

Итог: ровно 4 решения при $$a\in(-4{,}25;\,1-\sqrt{17})\cup(1-\sqrt{17};\,-2)\cup(2;\,\sqrt{17}-1)\cup(\sqrt{17}-1;\,4{,}25).$$