Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Раскладываем первое уравнение как произведение множителей: $(xy-x+7)(y-x+7)=0$. Значит либо $y=x-7$ (прямая), либо $xy-x+7=0\Rightarrow y=1-\dfrac{7}{x}$ (гипербола, $x\neq0$; при $x=0$ равенство $7=0$ невозможно, так что ограничение выполняется автоматически). Таким образом графиком первого уравнения служит объединение прямой и гиперболы.

2. Второе уравнение $y=3x+a$ — семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 3.

3. Прямая $y=3x+a$ и прямая $y=x-7$ имеют разные наклоны (3 и 1), поэтому они пересекаются ровно в одной точке при любом $a$ — это всегда один «готовый» корень системы.

4. Пересечения с гиперболой находим из уравнения $3x+a=1-\dfrac{7}{x}$, то есть $3x^{2}+(a-1)x+7=0$. Число его корней (0,1,2) зависит от дискриминанта $D=(a-1)^{2}-84$.

5. Если $D=0$ (касание гиперболы), получаем ровно один новый корень, и вместе с точкой на прямой $y=x-7$ всего два различных решения. Отсюда $a=1\pm2\sqrt{21}$.

6. Если $D>0$, квадратное уравнение даёт два корня; тогда решений три, если только один из них не совпадает с той самой точкой пересечения прямых $y=x-7$ и $y=3x+a$ — тогда общее число различных решений уменьшается до двух. Находим точки пересечения прямой и гиперболы: $x-7=1-\dfrac7x\Rightarrow x^2-8x+7=0\Rightarrow x=1,7$, точки $(1,-6)$ и $(7,0)$. Подставляя их в $y=3x+a$, получаем $a=-9$ (для $(1,-6)$) и $a=-21$ (для $(7,0)$).

Объединяя все случаи, получаем искомое множество значений параметра.