Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Из корня $\sqrt{x-3}$ следует, что все решения лежат в области $x\ge 3$.

2. Разложим левую часть первого уравнения на множители, сгруппировав слагаемые: $xy^2-3xy-3y+9=xy(y-3)-3(y-3)=(y-3)(xy-3)$. Значит первое уравнение принимает вид $(y-3)(xy-3)\sqrt{x-3}=0$ при $x\ge3$.

3. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю. Отсюда получаем совокупность на области $x\ge3$: либо $x=3$ (тогда множитель $\sqrt{x-3}$ обращается в 0 при любом $y$), либо $y=3$, либо $y=\dfrac{3}{x}$. Таким образом множество решений первого уравнения — это объединение вертикальной прямой $x=3$, горизонтальной прямой $y=3$ и ветви гиперболы $y=\dfrac{3}{x}$, взятых только при $x\ge3$.

4. Второе уравнение $y=ax$ задаёт пучок прямых, проходящих через начало координат с угловым коэффициентом $a$. Число решений системы равно числу точек пересечения этой прямой с указанным объединением трёх линий на области $x\ge3$.

5. Прямая $x=3$ всегда даёт одну точку пересечения $(3,3a)$ — она существует для любого $a$.

6. Пересечение с $y=3$: из $ax=3$ получаем $x=\dfrac{3}{a}$ (при $a>0$), и условие $x\ge3$ даёт $a\le1$.

7. Пересечение с $y=\dfrac{3}{x}$: из $ax=\dfrac{3}{x}$ получаем $x=\sqrt{\dfrac{3}{a}}$ (при $a>0$), условие $x\ge3$ даёт $a\le\dfrac13$.

8. При $a=1$ вторая точка совпадает с первой (обе дают $(3,3)$), при $a=\dfrac13$ третья точка совпадает с первой (тоже $(3,3)$). Поэтому именно на границах $a=1$ и $a=\dfrac13$ количество различных точек уменьшается.

9. Анализируя расположение прямой $y=ax$ относительно трёх линий при разных $a$ (при $a\le0$ — одна точка, при $0<a<\dfrac13$ — три различные точки, при $\dfrac13\le a<1$ — две точки, при $a\ge1$ — одна точка), получаем, что ровно три решения возникают только при $0<a<\dfrac13$.

Итог: $a\in\left(0;\dfrac13\right)$.