Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Область определения первого уравнения: $x+y+6\ge0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю (при выполнении области определения).

2. Значит уравнение $(x^2+y^2+6x)\sqrt{x+y+6}=0$ равносильно совокупности: $$x+y+6=0 \quad\text{или}\quad \begin{cases}(x+3)^2+y^2=9,\\ x+y+6>0.\end{cases}$$

Первая часть — прямая $y=-x-6$. Вторая — дуга окружности с центром $(-3;0)$ радиуса 3, лежащая выше этой прямой (условие $x+y+6>0$ отсекает нижнюю часть окружности).

3. Второе уравнение $y=x+a$ задаёт прямую с угловым коэффициентом 1.

4. Прямая $y=x+a$ и прямая $y=-x-6$ имеют разные угловые коэффициенты ($1\ne-1$), поэтому всегда пересекаются ровно в одной точке — это одно решение системы при любом $a$.

5. Чтобы всего было 2 решения, нужно, чтобы прямая $y=x+a$ пересекала дугу ровно один раз (касание или одно пересечение).

6. Подставим $y=x+a$ в уравнение окружности: $$(x+3)^2+(x+a)^2=9 \Rightarrow 2x^2+2(a+3)x+a^2=0.$$ Касание — когда дискриминант равен нулю: $$\frac{D}{4}=(a+3)^2-2a^2=0 \Rightarrow a^2-6a-9=0 \Rightarrow a=3\pm3\sqrt2.$$ Проверка показывает, что точки касания лежат именно на нужной дуге.

7. Концы дуги — точки $(-6;0)$ и $(-3;-3)$ (пересечения окружности с прямой $y=-x-6$). Прямая $y=x+a$ проходит через них при $a=6$ и $a=0$ соответственно. При $0\le a\le6$ прямая пересекает дугу ровно один раз (секанс через дугу), давая в сумме 2 решения.

8. Объединяя случаи касания и секущей через дугу, получаем итоговое множество значений параметра.