Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Разложим левую часть первого уравнения на множители: $xy^2-2xy-6y+12=xy(y-2)-6(y-2)=(y-2)(xy-6)$. Значит первое уравнение равносильно $(y-2)(xy-6)\sqrt{6-x}=0$ при ОДЗ $x\le 6$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: $y=2$, или $xy=6$ (то есть $y=\dfrac{6}{x}$, $x\ne0$), или $\sqrt{6-x}=0$ (то есть $x=6$). Все эти три линии лежат в области $x\le6$.

Второе уравнение $y=ax$ — прямая через начало координат с угловым коэффициентом $a$. Нужно найти, при каких $a$ эта прямая пересекает объединение трёх линий ровно в трёх различных точках.

Считаем точки пересечения прямой с каждой линией:

Считаем совпадения точек: при $a=1/6$ положительный корень ветки $y=6/x$ совпадает с точкой $x=6$; при $a=1/3$ точка ветки $y=2$ совпадает с $x=6$; при $a=2/3$ точка ветки $y=2$ совпадает с положительным корнем ветки $y=6/x$.

Прослеживая изменение числа различных точек при возрастании $a$: при $a<0$ — 2 точки, при $a=0$ — 1, при $0<a\le1/6$ — 2 (совпадение), при $1/6<a\le1/3$ — 3 (за счёт совпадения в $a=1/3$), при $1/3<a<2/3$ — 4, при $a=2/3$ — 3 (совпадение), при $a>2/3$ — 4.

Таким образом три решения получаются только при $a\in[1/6;1/3]$ и при $a=2/3$.