Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Первое уравнение содержит произведение с корнем, значит либо множитель равен нулю (при условии, что подкоренное выражение существует), либо подкоренное выражение равно нулю. Получаем совокупность: $$x-y+8=0 \quad\text{или}\quad \begin{cases}x^2-7x+8-y=0\\x-y+8\ge 0\end{cases}$$ То есть график $\Gamma_1$ — это прямая $y=x+8$ плюс та часть параболы $y=x^2-7x+8$, что лежит не выше этой прямой.

2. Находим точки пересечения прямой и параболы: $x+8=x^2-7x+8 \Rightarrow x^2-8x=0 \Rightarrow x=0,\ x=8$. Значит парабола "обрезается" по прямой на отрезке $x\in[0;8]$, вне его лежит выше прямой (не входит в $\Gamma_1$). Вершина параболы $(3.5;-4.25)$.

3. Второе уравнение $y=ax+a=a(x+1)$ — пучок прямых через точку $(-1;0)$.

4. Ищем касание пучка с параболой: $x^2-7x+8=ax+a \Rightarrow x^2-(a+7)x+8-a=0$, дискриминант $=0$: $$(a+7)^2-4(8-a)=0 \Rightarrow a^2+18a+17=0 \Rightarrow a=-1,\ a=-17.$$ При $a=-1$ точка касания $x=\frac{a+7}{2}=3\in[0;8]$ — подходит; при $a=-17$ $x=-5$ — не входит в $\Gamma_1$.

5. Прямая параллельна $y=x+8$ при $a=1$.

6. Двигая прямую пучка (меняя a от $-\infty$ до $+\infty$) и считая число пересечений с $\Gamma_1$, получаем: при $a<-1$ — 1 точка; при $a=-1$ и $a=1$ — ровно 2 точки; при $1<a<16/9$ — 3 точки; при $16/9\le a<8$ — снова 2 точки; при $a\ge 8$ — 1 точка.

Ответ: $a\in\{-1;1\}\cup[16/9;8)$.