Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Из уравнения $x^2+y^2=a$ следует, что при $a\le 0$ решений либо нет (при $a<0$), либо единственное решение $x=y=0$, которое не подходит первому уравнению. Значит, $a>0$.

Разложим левую часть первого уравнения: $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=a(x^2-y^2)$. Отсюда $x^2-y^2=\dfrac{12a-28}{a}$.

Складывая это равенство с $x^2+y^2=a$ и вычитая, находим $$x^2=\frac{a^2+12a-28}{2a}=\frac{(a-2)(a+12)}{2a},\qquad y^2=\frac{a^2-12a+28}{2a}=\frac{(a-6-\sqrt8)(a-6+\sqrt8)}{2a}.$$

Для каждого положительного значения $x^2$ и $y^2$ получаем ровно 2 значения переменной ($\pm$), значит для ровно 4 решений системы нужно, чтобы оба выражения были строго положительны (если одно из них равно нулю или отрицательно — решений меньше четырёх).

Решаем систему неравенств $$\frac{(a-2)(a+12)}{2a}>0,\qquad \frac{(a-6-\sqrt8)(a-6+\sqrt8)}{2a}>0.$$ Методом интервалов (с учётом $a>0$) получаем: первое неравенство даёт $a\in(2;+\infty)$ (при $a>0$), второе — $a\in(0;6-\sqrt8)\cup(6+\sqrt8;+\infty)$.

Пересекая эти множества с учётом $a>0$, получаем итоговый ответ.