Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Сделаем замену $t=3y$. Так как каждому $y$ соответствует ровно одно $t$, число решений системы не изменится. Система принимает вид: $$|x-4|+|t|=2,\qquad (x-4)^2+t^2=4-4a.$$

Если $4-4a<0$, второе уравнение не имеет решений — система решений не имеет.

Если $4-4a=0$, единственное решение второго уравнения $(x;t)=(4;0)$ не подходит первому уравнению (там сумма модулей равна 2, а не 0) — снова нет решений.

Если $4-4a>0$, обозначим $r=\sqrt{4-4a}$. Второе уравнение задаёт окружность с центром $(4;0)$ и радиусом $r$. Первое уравнение $|x-4|+|t|=2$ — это квадрат (ромб) с вершинами $(2;0),(4;2),(6;0),(4;-2)$, стороны которого лежат на расстоянии $\sqrt2$ от центра (по формуле расстояния до прямой $x+t=6$ и др.), а вершины — на расстоянии $2$.

Пересечение окружности и контура квадрата даёт ровно 4 точки в двух случаях: когда окружность вписана в квадрат ($r=\sqrt2$, касание в середине каждой стороны — 4 точки), или описана около квадрата ($r=2$, проходит через все 4 вершины). При других $r$ получаем 0 или 8 точек пересечения.

Решаем: $$\sqrt{4-4a}=\sqrt2 \Rightarrow 4-4a=2 \Rightarrow a=0{,}5;$$ $$\sqrt{4-4a}=2 \Rightarrow 4-4a=4 \Rightarrow a=0.$$