Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Преобразуем первое уравнение: $|y|=3-3|x-2|$, откуда $y=\pm3(1-|x-2|)$ при $1\le x\le3$. Это ломаная — стороны ромба с вершинами $(1;0),(3;0),(2;3),(2;-3)$: центр ромба в точке $(2;0)$, диагонали равны $2$ (по $x$) и $6$ (по $y$).

Второе уравнение перепишем в виде $y=a(x+2)+2$ — это семейство прямых, каждая из которых при любом $a$ проходит через фиксированную точку $M(-2;2)$ (при $x=-2$ получаем $y=2$ для любого $a$). Значит, задача сводится к тому, при каких наклонах $a$ прямая, вращающаяся вокруг $M$, пересекает ромб ровно в двух точках.

Точка $M(-2;2)$ лежит вне ромба (левее и выше него). Найдём предельные («крайние») положения прямой — те, что проходят через самые удалённые по вертикали вершины ромба $(2;-3)$ и $(2;3)$, так как именно эти наклоны ограничивают «конус» прямых, задевающих ромб: $$a_1=\dfrac{-3-2}{2-(-2)}=-\dfrac{5}{4},\qquad a_2=\dfrac{3-2}{2-(-2)}=\dfrac{1}{4}.$$

При $a=a_1=-5/4$ и $a=a_2=1/4$ прямая проходит ровно через одну вершину ромба, касаясь его — получаем ровно одно решение. Если $a<-5/4$ или $a>1/4$, прямая проходит мимо ромба — решений нет. Если $-5/4<a<1/4$, прямая, вращаясь между этими крайними положениями, пересекает две стороны ромба — получаем ровно два решения.

Следовательно, условие «ровно два решения» выполняется при $a\in\left(-\dfrac{5}{4};\dfrac{1}{4}\right)$.