Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Шаг 1. Разбираем первое уравнение. Множитель $|x+3|$ и $(x+3)$ подсказывают рассмотреть три случая по знаку $x+3$.

При $x=-3$ обе части равны нулю — равенство верно при любом $y$, но тогда точка должна ещё удовлетворять второй прямой, значит просто $x=-3$ входит в график.

При $x<-3$: $|x+3|=-(x+3)$, после деления на $(x+3)\neq0$ получаем $x^2+y^2-3y-2=-(3y+2)$, то есть $x^2+y^2=0$, откуда $x=y=0$ — не подходит под $x<-3$. Решений нет.

При $x>-3$: $|x+3|=x+3$, деление даёт $x^2+y^2-3y-2=3y+2$, то есть $x^2+(y-3)^2=13$ — окружность с центром $(0;3)$, радиус $\sqrt{13}$, берём только часть с $x>-3$.

Итог: график первого уравнения — вертикальная прямая $x=-3$ плюс дуга окружности справа от неё.

Шаг 2. Второе уравнение $3y-2x=a$ задаёт прямые $y=\frac23x+\frac{a}{3}$ с фиксированным наклоном $\frac23$ — при изменении $a$ прямая сдвигается параллельно самой себе.

Шаг 3. Считаем пересечения. Нужно понять, сколько раз прямая с наклоном $\frac23$ пересекает объединение вертикальной прямой и дуги. Пересечения с $x=-3$ дают точки $A(-3;1)$ и $B(-3;5)$ (корни уравнения окружности при $x=-3$, но с учётом, что сама вертикальная прямая целиком входит в график). Дуга окружности ограничена этими же точками по вертикали и проходит через $C(2;0)$ и $D(-2;6)$ — концы диаметра, перпендикулярного нашему наклону (так как угловой коэффициент диаметра $-\frac32$, а $\frac23\cdot(-\frac32)=-1$).

Двигая прямую параллельно, находим критические положения: касание дуги в точке $C$ (наименьшее $a=a_1$), прохождение через $A$ ($a_2$), через $B$ ($a_3$), касание в $D$ ($a_4$). Между этими значениями число пересечений меняется: 1, 2, 3, 2, 3, 2, 1.

Шаг 4. Считаем сами значения, подставляя координаты точек в $y=\frac23x+\frac{a}{3}$:

• $C(2;0)$: $0=\frac43+\frac{a_1}{3}\Rightarrow a_1=-4$;
• $A(-3;1)$: $1=-2+\frac{a_2}{3}\Rightarrow a_2=9$;
• $B(-3;5)$: $5=-2+\frac{a_3}{3}\Rightarrow a_3=21$;
• $D(-2;6)$: $6=-\frac43+\frac{a_4}{3}\Rightarrow a_4=22$.

Шаг 5. Ровно два решения получаются при $a=a_1=-4$ (касание), при $a_2\le a\le a_3$ (то есть $9\le a\le21$) и при $a=a_4=22$ (касание). Это и даёт итоговое множество значений параметра.