Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Первое уравнение. Так как логарифм — монотонная функция, уравнение $\lg(2|x|+3|y|)=\lg 6$ равносильно $2|x|+3|y|=6$, то есть $|y|=2-\dfrac{2}{3}|x|$. Раскрывая модули, получаем ромб с вершинами $A(-3;0)$, $B(0;2)$, $C(3;0)$, $D(0;-2)$ (график получается отражением отрезка прямой из первой четверти относительно осей).

2. Второе уравнение. Выделяя полный квадрат: $x^2+y^2-2ay+a^2-1=0 \Leftrightarrow x^2+(y-a)^2=1$ — это окружность радиуса 1 с центром $M(0;a)$, движущимся по оси $Oy$.

3. Анализ пересечений. При движении центра $M$ вдоль оси $Oy$ окружность может пересекать стороны ромба в 0, 1, 2, 3 или 4 точках. Два пересечения возникают в двух ситуациях:

• окружность проходит через вершину $B(0;2)$ или $D(0;-2)$, но не достигает соседней стороны — это даёт диапазоны $a\in(1;3)$ (около $B$) и симметрично $a\in(-3;-1)$ (около $D$); граничные значения $a=1,3$ дают 3 или 1 точку, поэтому исключаются;
• окружность касается одной из сторон ромба (тогда пересечение с этой стороной — одна точка, а с противоположной, по симметрии, ещё одна). Для стороны $BC$: $2x+3y=6$, расстояние от $M(0;a)$ до прямой равно 1: $\dfrac{|3a-6|}{\sqrt{13}}=1$, откуда при $a<2$ получаем $a=2-\dfrac{\sqrt{13}}{3}$. По центральной симметрии ромба второе такое значение — $a=\dfrac{\sqrt{13}}{3}-2$.

4. Объединение случаев даёт итоговое множество параметров.