Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Работаем с ОДЗ первого уравнения: нужно $x+5\ge0$ и $5-x>0$, то есть $-5\le x<5$. При этих условиях знаменатель $\sqrt{5-x}>0$, поэтому дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю: $(y^2-xy+4x-7y+12)\sqrt{x+5}=0$.

Это произведение обнуляется, если $\sqrt{x+5}=0$, т.е. $x=-5$ (весь вертикальный луч при любом $y$), или если $y^2-(x+7)y+4(x+3)=0$. Считая это уравнение квадратным относительно $y$, находим дискриминант $D=(x+7)^2-16(x+3)=(x-1)^2$, откуда $y=x+3$ или $y=4$.

Значит, график первого уравнения — это объединение вертикальной прямой $x=-5$, отрезка прямой $y=4$ и отрезка прямой $y=x+3$, причём последние два берутся только при $-5\le x<5$ (правый конец открытый).

Второе уравнение $|x|+|y|=a$ при $a\le0$ либо не имеет решений, либо даёт одну точку $(0,0)$, которая не подходит первому уравнению — значит, при $a\le0$ решений нет. При $a>0$ это квадрат (ромб) с вершинами $(\pm a,0),(0,\pm a)$.

Теперь смотрим, как этот ромб пересекает построенную ломаную при возрастании $a$. Пока ромб маленький ($0<a<3$), он вообще не задевает наклонный отрезок и луч $y=4$ — решений нет. При $a=3$ одна из сторон ромба ложится точно на прямую $y=x+3$, и общих точек становится бесконечно много — это значение не подходит. При $3<a<4$ ромб уже пересекает ломаную ровно в двух точках. При $a=4$ добавляется ещё одна точка касания с $y=4$, получаем три решения. Далее при $4<a<13$ ромб одновременно пересекает несколько частей ломаной, число решений больше двух. При $a=13$ и далее $a>13$ ромб становится настолько большим, что задевает ломаную снова ровно в двух точках (через вертикальную прямую $x=-5$ и один из отрезков).

Собираем промежутки, где решений ровно два: $3<a<4$ и $a\ge13$.