Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Второе уравнение $x^2+y^2-10y=0$ приведём к виду $x^2+(y-5)^2=25$ — это окружность с центром $(0;5)$ и радиусом $R=5$.

Первое уравнение $|3x|+|4y|=12a$ задаёт ромб с вершинами $(\pm4a;0)$ и $(0;\pm3a)$ (при $a>0$); при $a=0$ получаем точку $(0,0)$, при $a<0$ решений нет вовсе, а $(0,0)$ не лежит на окружности, значит при $a=0$ система решений не имеет.

Для $a>0$ считаем число общих точек ромба и окружности, меняя размер ромба.

1. Когда ромб маленький, он весь внутри окружности, но верхняя вершина $(0;3a)$ выходит за окружность, когда $3a$ становится больше $10$ (диаметр по вертикали от $0$ до $10$). Пока верхняя вершина ромба ниже точки $(0;10)$, верхние стороны ромба пересекают окружность в двух точках — итого 2 решения.

2. Критический момент $a_1$: вершина ромба совпадает с верхней точкой окружности $(0;10)$: $|3\cdot0|+|4\cdot10|=12a_1\Rightarrow a_1=\dfrac{10}{3}$. При этом решений становится 3 (переходный случай), а дальше при увеличении $a$ становится 4 точки пересечения — вершина "прокалывает" окружность насквозь.

3. При дальнейшем росте $a$ ромб расширяется, стороны отходят от окружности, и в момент, когда стороны ромба касаются окружности (расстояние от центра $(0,5)$ до прямой $3x+4y-12a=0$ равно $R=5$), число точек пересечения падает до 2 — это второй нужный случай.

Найдём это $a_2$ по формуле расстояния от точки до прямой: $$\dfrac{|3\cdot0+4\cdot5-12a_2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=5\Rightarrow|20-12a_2|=25.$$ Отсюда $20-12a_2=\pm25$, и с учётом $a_2>0$ получаем $a_2=\dfrac{15}{4}$.

При $a>a_2$ ромб становится настолько большим, что окружность лежит целиком внутри него, и общих точек нет.

Собирая все промежутки, ровно два решения получаются при $0<a<\dfrac{10}{3}$ (маленький ромб пересекает окружность в двух точках) и при $a=a_2=\dfrac{15}{4}$ (касание сторон).

Итог: $a\in\left(0;\dfrac{10}{3}\right)\cup\left\{\dfrac{15}{4}\right\}$.