Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Перепишем условие $y=x+a$ (прямая, движущаяся при изменении $a$) и $|y|=|x^2-2x|$. Модульное уравнение раскрывается как $y=x^2-2x$ или $y=-(x^2-2x)$ — это две параболы, симметричные относительно оси Ox, пересекающиеся в точках $(0;0)$ и $(2;0)$.

Число решений системы — это число точек пересечения прямой $y=a-x$ с объединением этих двух парабол.

Найдём, при каких $a$ прямая касается каждой параболы (это критические значения, где число точек пересечения меняется).

Для $y=x^2-2x$: $x^2-2x=a-x \Rightarrow x^2-x-a=0$, $D_1=1+4a=0 \Rightarrow a=-1/4$.

Для $y=-(x^2-2x)$: $-(x^2-2x)=a-x \Rightarrow x^2-3x+a=0$, $D_2=9-4a=0 \Rightarrow a=9/4$.

Теперь разбираем интервалы. При $a<-1/4$ прямая не пересекает первую параболу (там дискриминант отрицательный), но пересекает вторую в двух точках — итого 2 решения. При $a=-1/4$ появляется касание с первой параболой, а эта точка касания лежит внутри второй параболы (проверяется подстановкой), значит всего 3 точки. При $-1/4<a<9/4$ прямая пересекает обе параболы по две точки каждую, и эти четвёрки точек не совпадают (совпадение возможно только в общих точках парабол $(0;0)$ и $(2;0)$, что не даёт совпадения всех четырёх точек), поэтому решений минимум 3. При $a=9/4$ аналогично касанию — 3 решения. При $a>9/4$ снова только вторая параболы даёт 0 точек, первая — 2 точки, итого 2 решения.

Следовательно, ровно два решения получаются только при $a<-1/4$ или $a>9/4$.