Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Шаг 1. Решаем уравнение с модулями. Точки обращения модулей в нуль — это $x=-1,\,x=2,\,x=3$. Раскрываем модули на четырёх промежутках и решаем линейное уравнение на каждом:

• при $x<-1$: получаем $x=-1$ — не входит в промежуток, решений нет;
• при $-1\le x<2$: уравнение превращается в тождество $0=0$ — подходит весь промежуток;
• при $2\le x<3$: получаем $x=2$ — подходит;
• при $x\ge3$: получаем $x=\dfrac{10}{3}$ — подходит.

Объединяя, множество решений первого уравнения: $D=[-1;2]\cup\left\{\dfrac{10}{3}\right\}$.

Шаг 2. Решаем квадратное уравнение. Для $x^2-2(a+1)x+a(a+2)=0$ по теореме Виета сумма корней $2(a+1)$, произведение $a(a+2)$. Подбором (или обратной теоремой Виета) видно, что корни — это $x_1=a$ и $x_2=a+2$, они всегда различны (отличаются на 2).

Шаг 3. Условие двух решений системы. Система имеет ровно два решения, если оба корня квадратного уравнения попадают в множество $D$, то есть каждый из $a$ и $a+2$ должен либо лежать в $[-1;2]$, либо равняться $10/3$.

Перебираем варианты:

• оба в $[-1;2]$: $a\in[-1;2]$ и $a+2\in[-1;2]\Rightarrow a\in[-3;0]$. Пересечение — $a\in[-1;0]$.
• $a=10/3$, тогда $a+2=16/3\notin D$ — не подходит.
• $a+2=10/3\Rightarrow a=4/3$, при этом $a=4/3\in[-1;2]\subset D$ — подходит.

Итог: объединяя все подходящие значения, получаем $a\in[-1;0]\cup\{4/3\}$.