Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Заметим, что если пара $(x_0;y_0)$ — решение системы $$x^2+y^2=2a,\quad 2xy=2a-1,$$ то решениями будут и $(y_0;x_0)$ (уравнения симметричны по $x,y$), и $(-x_0;-y_0)$ (обе части чётные), и $(-y_0;-x_0)$ — комбинация этих преобразований. Значит, решения системы разбиваются на группы по 4 точки, если все они разные. Чтобы всего решений было ровно два, какие-то из этих точек должны совпадать.

Проверим варианты:

1. $(x_0;y_0)=(-x_0;-y_0)$ даёт $x_0=y_0=0$, тогда $2a=0$ и $2a-1=0$ — противоречие.
2. $(x_0;y_0)=(y_0;x_0)$ даёт $x_0=y_0$, тогда $2x_0^2=2a$ и $2x_0^2=2a-1$ — тоже противоречие.
3. $(x_0;y_0)=(-y_0;-x_0)$ даёт $x_0=-y_0$. Подставив в уравнения: $2x_0^2=2a$, а из второго $-2x_0^2=2a-1$. Складывая, получаем $2a=1-2a$, то есть $a=\dfrac14$.

Проверим это значение: система принимает вид $$x^2+y^2=\tfrac12,\quad 2xy=-\tfrac12,$$ что равносильно $(x+y)^2=0$, то есть $x=-y$, и $y^2=\tfrac14$. Получаем ровно два решения: $\left(\tfrac12;-\tfrac12\right)$ и $\left(-\tfrac12;\tfrac12\right)$ — условие выполняется.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — $a=\dfrac14$.