Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Преобразуем числитель дроби. Раскроем скобки: $(x+4)^2+(y+4)^2-8(x+4)+x^2-y^2-24=8y+2x^2-24=8\left(y+\dfrac{x^2}{4}-3\right)$.

Почему это полезно: выражение свелось к произведению $(\sqrt{12-x^2}-y)\cdot 8\left(y+\dfrac{x^2}{4}-3\right)$, деленному на $2-x^2$. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то есть $x\neq\pm\sqrt2$. Значит первое уравнение равносильно системе: либо $y=\sqrt{12-x^2}$, либо $y=-\dfrac{x^2}{4}+3$ (при $x\neq\pm\sqrt2$).

2. Строим график. Первое условие даёт верхнюю полуокружность радиуса $\sqrt{12}$, второе — параболу, ветви вниз, ограниченную отрезком $[-\sqrt{12};\sqrt{12}]$ (там, где парабола не выше окружности), с выколотыми точками при $x=\pm\sqrt2$ (там $y=2{,}5$).

3. Прямая $y=1-2a$ горизонтальна — количество решений системы равно числу пересечений этой прямой с построенным графиком.

Анализируя рисунок, ровно две точки пересечения получаются при: $y=0$, $y=2{,}5$, $3<y<\sqrt{10}$, $\sqrt{10}<y<\sqrt{12}$.

4. Переходим к параметру $a$, подставляя $y=1-2a$:

$1-2a=0\Rightarrow a=0{,}5$; $1-2a=2{,}5\Rightarrow a=-0{,}75$; $3<1-2a<\sqrt{10}\Rightarrow -\dfrac{\sqrt{10}-1}{2}<a<-1$; $\sqrt{10}<1-2a<\sqrt{12}\Rightarrow -\dfrac{2\sqrt3-1}{2}<a<-\dfrac{\sqrt{10}-1}{2}$.

Объединяя все найденные множества, получаем итоговый ответ.