Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Работа с первым уравнением. Множитель $\sqrt{8-x}$ даёт ОДЗ $x\le 8$, а сам корень равен нулю только при $x=8$. Квадратное выражение по $y$ раскладывается на множители: $2y^2-yx-18y+6x+36=2\left(y-6\right)\left(y-\left(\frac{x}{2}+3\right)\right)$. Значит первое уравнение равносильно совокупности прямых $y=6$, $y=\frac{x}{2}+3$ (при ограничении $x\le 8$) и вертикальной прямой $x=8$.

2. Второе уравнение. Дробь определена при $y\ne1$, и после упрощения $\frac{2y-ax+8a-1}{y-1}=1$ превращается в линейное уравнение $y=a(x-8)$ — это пучок прямых, проходящих через фиксированную точку $(8;0)$, с исключённой точкой, где $y=1$.

3. Графический анализ. Точка $(8;0)$ всегда лежит на прямой $x=8$ и удовлетворяет $y\ne1$ — это решение существует при любом $a$. Далее считаем, при каких $a$ прямая $y=a(x-8)$ пересекает $y=6$ и $y=\frac{x}{2}+3$ в точках с $x\le8$, $y\ne1$.

Прямые $y=6$ и $y=\frac{x}{2}+3$ сами пересекаются в $(6;6)$ — через эту точку прямая $y=a(x-8)$ проходит при $a=-3$ (тогда два пересечения сливаются в одно). Прямая $y=1$ пересекает $y=\frac{x}{2}+3$ в точке $(-4;1)$ — эта точка запрещена, и прямая пучка проходит через неё при $a=-1/12$ (тогда одно пересечение «теряется»). При $a=0$ прямая горизонтальна и не встречает $y=6$; при $a=1/2$ она параллельна $y=\frac{x}{2}+3$.

Считая число пересечений на каждом промежутке, получаем: три решения при $a<-3$, $-3<a<-1/12$, $-1/12<a<0$; ровно два решения при $a=-3$, $a=-1/12$ и на $0\le a<1/2$; одно решение при $a\ge1/2$.

4. Итог. Условию «ровно два решения» удовлетворяют $a=-3$, $a=-1/12$ и весь промежуток $[0;1/2)$.