Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Область допустимых значений: $x>0,\;x\neq1,\;y>0,\;y\neq1$ (нужны для логарифмов $\log_x2,\log_y2$).

2. Преобразуем второе уравнение. По формуле смены основания $\dfrac1{\log_x2}=\log_2x$, аналогично для $y$. Значит $\log_2x+\log_2y=1\iff\log_2(xy)=1\iff xy=2\iff y=\dfrac2x$ (при этом $x\neq1$ даёт $y\neq2$? нет, исключаются точки, где $x=1$ или $y=1$, т.е. точки $(1;2)$ и $(2;1)$ выкалываются из графика).

3. Первое уравнение $y=a(x-3)$ — пучок прямых, проходящих через фиксированную точку $(3;0)$, наклон которых определяется параметром $a$.

4. Система не имеет решений, если прямая не пересекает "выколотую" ветвь гиперболы $y=\dfrac2x$ (для $x>0$, без точек $(1;2)$ и $(2;1)$).

5. При $a=0$ прямая $y=0$ совпадает с асимптотой гиперболы — общих точек нет, решений нет.

6. При $a=-1$ прямая $y=3-x$ пересекает гиперболу ровно в точках $(1;2)$ и $(2;1)$ (проверка: $2/x=3-x\Rightarrow x^2-3x+2=0\Rightarrow x=1,2$), но эти точки исключены из ОДЗ — значит, решений у системы нет.

7. Для остальных $a\neq0$ приравняем $\dfrac2x=a(x-3)$, получим $ax^2-3ax-2=0$. Общие точки существуют, если это уравнение имеет корни, то есть дискриминант $D=9a^2+8a\ge0$.

8. Находим корни $D=0$: $a(9a+8)=0\Rightarrow a=0$ или $a=-\dfrac89$. При $a=-\dfrac89$ дискриминант равен нулю — прямая касается гиперболы в точке $x=\dfrac32,\,y=\dfrac43$, которая входит в ОДЗ, значит система имеет решение, этот $a$ не подходит.

9. Для $-\dfrac89<a<0$ дискриминант отрицателен — уравнение не имеет корней, прямая не пересекает гиперболу, решений нет.

10. Собираем все найденные значения: $a=-1$ (отдельная точка) и интервал $-\dfrac89<a\le0$ (включая $a=0$, где уравнение вырождается и решений нет).

Итоговое множество параметров, при которых система не имеет решений: $\{-1\}\cup\left(-\dfrac89;0\right]$.