Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Раскладываем первое уравнение на множители. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: $$|x|+|y|=10 \quad\text{или}\quad |xy|=9,$$ второе условие даёт две гиперболы $y=\dfrac{9}{x}$ и $y=-\dfrac{9}{x}$.

2. Геометрический смысл. Уравнение $|x|+|y|=10$ — квадрат с вершинами $(\pm10,0),(0,\pm10)$. Гиперболы пересекают его стороны в 8 точках вида $(1,9),(9,1)$ и симметричных им. Второе уравнение системы $x^2+y^2=a^2$ — окружность радиуса $a$. Число решений системы равно числу точек окружности, лежащих на квадрате или на гиперболах (без повторного счёта совпадающих точек).

3. Пересечение с гиперболой. Подставив $y=9/x$, получаем $x^4-a^2x^2+81=0$. Она имеет положительные корни при $a\ge a_1=3\sqrt2$: при $a=a_1$ — касание (по 1 точке на ветвь, всего 4 точки), при $a>a_1$ — по 2 точки на ветвь (всего 8 точек).

4. Пересечение с квадратом. Расстояние от центра до стороны квадрата равно $5\sqrt2$ — это радиус вписанной окружности. При $a<5\sqrt2$ окружность квадрат не задевает, при $a=5\sqrt2$ касается сторон (4 точки), при $5\sqrt2<a<10$ пересекает каждую сторону в 2 точках (8 точек), при $a=10$ проходит через вершины (4 точки, окружность описана вокруг квадрата), при $a>10$ квадрат не задевает.

5. Совпадение точек. Точки пересечения гиперболы и квадрата лежат на расстоянии $\sqrt{1^2+9^2}=\sqrt{82}$ от центра. Значит именно при $a=\sqrt{82}$ точки пересечения окружности с квадратом и с гиперболой совпадают — тогда 8+8 точек превращаются в 8 (без повторов).

6. Считаем суммарное число решений на интервалах между критическими значениями $a_1=3\sqrt2,\;a_2=5\sqrt2,\;a_3=\sqrt{82},\;a_4=10$:

• $0<a<a_1$: 0 решений;
• $a=a_1$: 4;
• $a_1<a<a_2$: 8;
• $a=a_2=5\sqrt2$: 12;
• $a_2<a<a_3$: 16;
• $a=a_3=\sqrt{82}$: 8;
• $a_3<a<a_4$: 16;
• $a=a_4=10$: 12;
• $a>10$: 8.

7. Отбираем значения с не менее чем 12 решениями: это $a\in[5\sqrt2,\sqrt{82})\cup(\sqrt{82},10]$ — точка $a=\sqrt{82}$ исключается, так как там всего 8 решений.