Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Приводим систему к удобному виду. Первое уравнение $a(x+2)+y=3a$ равносильно $y=a(1-x)$. Подставляя во второе уравнение $a+2x^3=y^3+(a+2)x^3$ и упрощая, получаем $y^3=a(1-x^3)$. Значит система равносильна $$\begin{cases}y=a(1-x)\\ y^3=a(1-x^3)\end{cases}$$ Возводя первое уравнение в куб и подставляя во второе, приходим к $$\begin{cases}y=a(1-x)\\ a^3(1-x)^3=a(1-x)(1+x+x^2)\end{cases}$$ Почему так: раз $y$ однозначно выражается через $x$, число решений системы равно числу решений второго уравнения относительно $x$.

2. Случай $a=0$. Тогда $y=0$ при любом $x$ — бесконечно много решений, условие не выполняется.

3. Случай $a\neq0$. Делим обе части на $(1-x)$ (учитывая $x=1$ как отдельное решение) и получаем совокупность: $$x=1 \quad\text{или}\quad a^2(1-x)^2=1+x+x^2.$$ Второе уравнение приводится к квадратному: $$(a^2-1)x^2-(2a^2+1)x+(a^2-1)=0. \quad (*)$$ Проверка показывает, что $x=1$ не удовлетворяет $(*)$ ни при каком $a$, поэтому решения из совокупности не совпадают — общее число решений системы равно $1+\{\text{число корней }(*)\}$. Чтобы всего было не более двух решений, уравнение $(*)$ должно иметь не более одного корня.

4. Случай $a=\pm1$. Тогда $(*)$ становится линейным: $-3x=0\Rightarrow x=0$ — единственный корень, условие выполняется.

5. Случай $a\neq0,\pm1$. $(*)$ — квадратное, не более одного корня, если дискриминант $\le0$: $$(2a^2+1)^2-4(a^2-1)^2\le0 \Longleftrightarrow 4a^2-1\le0 \Longleftrightarrow -\tfrac12\le a\le\tfrac12.$$ С учётом $a\neq0$ получаем $a\in[-\tfrac12;0)\cup(0;\tfrac12]$.

Итог: объединяя все случаи, получаем ответ.