Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Строим множество точек первого уравнения. Уравнение $|x^2-2x|-x^2=|y^2-2y|-y^2$ содержит модули, поэтому раскрываем их по знаку выражений $x^2-2x$ и $y^2-2y$, разбивая плоскость на 4 области (по знаку каждого из выражений).

• Если оба выражения $\leqslant 0$ (то есть $x,y\in[0,2]$), уравнение сводится к $(y-x)(x+y-1)=0$ — это прямая $y=x$ и прямая $x+y=1$, но берём только их части внутри квадрата $[0,2]\times[0,2]$.
• Если $x^2-2x\leqslant0$, а $y^2-2y>0$, получаем параболу $y=x^2-x$ (только нижняя дуга, где $y\leqslant0$).
• Симметрично, при $x^2-2x>0$, $y^2-2y\leqslant0$ — параболу $x=y^2-y$ (левая дуга).
• Если оба $>0$ — снова $y=x$, но уже вне квадрата (лучи).

Склеивая куски, получаем: прямую $l:\,y=x$, отрезок $AB$ прямой $x+y=1$ (между $A(0,1)$ и $B(1,0)$), дугу $\omega_1$ параболы $y=x^2-x$ от $B$ до $C(0,0)$ и дугу $\omega_2$ параболы $x=y^2-y$ от $A$ до $C$.

2. Второе уравнение $x+y=a$ задаёт прямую $m$, параллельную $AB$ (или совпадающую при $a=1$).

3. Анализ пересечений прямой $m$ с построенной фигурой:

• При $a=1$ прямая совпадает с отрезком $AB$ — бесконечно много решений (не подходит по условию "более двух, но не бесконечно", хотя формально бесконечно много > 2, входит).
• При $a=0$ прямая касается дуг $\omega_1,\omega_2$ в точке $C$ и пересекает $l$ там же — всего одна точка.
• При $0<a<1$ прямая $m$ пересекает $l$ в одной точке (не $C$), и каждую из дуг $\omega_1,\omega_2$ — по одной точке (не считая $C$), при этом $AB$ не задевает. Итого 3 различные точки — более двух решений.
• При $a<0$ или $a>1$ прямая пересекает только $l$ — одно решение.

4. Вывод. Более двух решений получается именно при $0<a\leqslant1$ (включая $a=1$, где решений бесконечно много).