Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Введём функцию $f(t)=t^2+|t^2+2t|$. Тогда первое уравнение принимает вид $f(x)=f(y)$, а второе задаёт прямую $y=-x+a$ с угловым коэффициентом $-1$.

Раскроем модуль по знаку $t^2+2t$ (корни $0$ и $-2$):

• при $-2\le t\le 0$: $f(t)=t^2-(t^2+2t)=-2t$;
• при $t\le -2$ или $t\ge 0$: $f(t)=t^2+(t^2+2t)=2t^2+2t$.

Подставляя оба варианта в $f(x)=f(y)$, получаем четыре случая, каждый из которых даёт часть графика $\Gamma$: отрезок прямой $y=x$ (при $-2\le x,y\le0$), дуги парабол $x=-y^2-y$ и $y=-x^2-x$ (при разных знаках выражений), а при $x,y$ вне $(-2,0)$ уравнение сводится к $(y-x)(y+x+1)=0$, то есть даёт лучи прямых $y=x$ и $y=-x-1$.

Теперь смотрим, как прямая $y=-x+a$ пересекает $\Gamma$. При $a=-1$ прямая совпадает с лучами $y=-x-1$, значит решений бесконечно много (больше двух). При $a=0$ прямая касается графика в одной точке. При $-1<a<0$ прямая пересекает $\Gamma$ ровно в трёх точках — три решения. При остальных $a$ пересечение только одно.

Таким образом, более двух решений система имеет при $-1\le a<0$.