Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Первое уравнение $\dfrac{5}{x}+3-y=\left|y-2+\dfrac{3}{x}\right|$ раскрываем по определению модуля. После преобразований оно равносильно совокупности: либо $y=\dfrac1x+\dfrac52$ при $x\le-8$ или $x>0$, либо $x=-8,\ y\le 2\frac38$. То есть график — это ветвь гиперболы $y=\frac1x+\frac52$ (на нужных промежутках) плюс вертикальный луч в точке $x=-8$.

2. Второе уравнение $2y(y-4)+3x(ax+4)=xy(2a+3)$ приводим к виду $y^2-\left(4+ax+\frac32x\right)y+\frac32x(ax+4)=0$, которое разлагается на множители: $y=\dfrac32x$ или $y=ax+4$. Значит решения системы — это точки пересечения графика из шага 1 с прямыми $y=\frac32x$ и $y=ax+4$.

3. Прямая $y=\frac32x$ не зависит от $a$, поэтому число её пересечений с графиком постоянно. Подставляя, находим ровно две такие точки: $B(-8;-12)$ (на вертикальном луче) и $(2;3)$ (на ветви гиперболы). Это "базовые" 2 решения.

4. Чтобы решений было больше трёх, прямая $y=ax+4$ должна дать ещё хотя бы две новые точки пересечения с графиком, не совпадающие с уже найденными.

5. Все прямые $y=ax+4$ проходят через $(0;4)$. Подставив в уравнение ветви гиперболы, получаем $\frac1x+\frac52=ax+4$, то есть $2ax^2+3x-2=0$. Дискриминант $D=9+16a$. Касание (единственное решение) происходит при $a=-\frac9{16}$ — при этом только одна общая точка, суммарно решений будет 3, что не подходит. При $a>-\frac9{16}$ уравнение даёт два корня — два новых пересечения, и суммарное число решений становится $\ge4$.

6. Нужно исключить случаи, когда новая точка пересечения совпадает с уже посчитанными $B$ или $(2;3)$: это происходит при $a=2$ (прямая проходит через $B$) и при $a=-0,5$ (прямая проходит через $(2;3)$) — тогда фактическое число решений уменьшается до 3.

7. При $a=0$ прямая $y=4$ горизонтальна и не пересекает график вовсе (уравнение $\frac1x+\frac52=4$ даёт $x=\frac23>0$... проверка показывает несоответствие области, поэтому пересечений нет), то есть остаются только 2 базовых решения — не подходит.

Итог: подходят все $a\ge-\frac9{16}$, кроме $a=-\frac9{16}$ (границы касания), $a=-0,5$, $a=0$ и $a=2$.