Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Первое уравнение. Так как $\sqrt{4-2x+y}=2$, возводим обе части в квадрат (потери корней нет, правая часть положительна): $4-2x+y=4\Rightarrow y=2x$. Это устанавливает взаимно однозначное соответствие: каждому $x$ отвечает единственное $y$, значит число решений системы равно числу подходящих значений $x$.

2. Подстановка. Подставим $y=2x$ во второе уравнение — там появляется выражение $x^2+3y+1=x^2+6x+1$. Обозначим $t=x^2+6x+1=(x+3)^2-8$. Отсюда $t\ge -8$, при этом: если $t>-8$ — есть ровно два $x$; если $t=-8$ — ровно один ($x=-3$); если $t<-8$ — решений нет.

3. Уравнение относительно t. Второе уравнение принимает вид $at^2-(a+1)t-2a-1=0$, которое раскладывается как $(t+1)(at-2a-1)=0$, то есть $t=-1$ или $at=2a+1$.

4. Первый корень. $t=-1>-8$ — всегда даёт 2 значения $x$, то есть 2 решения системы существуют при любом $a$.

5. Условие «не более 3 решений». Чтобы общее число решений не превышало 3, второй корень должен добавлять не больше одного решения: либо уравнения $at=2a+1$ не имеет решений ($a=0$), либо он совпадает с $t=-1$ (даёт те же 2 точки, не добавляя новых), либо его корень $t\le -8$ (добавляет максимум 1 точку).

6. Совпадение корней. При $a\ne0$: $t=2+\dfrac{1}{a}$. Равенство $2+\dfrac1a=-1$ даёт $\dfrac1a=-3\Rightarrow a=-\dfrac13$.

7. Условие $t\le-8$. $2+\dfrac1a\le-8 \Leftrightarrow \dfrac{10a+1}{a}\le0$. Решая методом интервалов: $-\dfrac1{10}\le a<0$.

8. Объединение всех случаев ($a=0$, $a=-\frac13$, $-\frac1{10}\le a<0$) даёт итоговый ответ.