Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Левая часть первого неравенства — произведение двух сумм квадратов, каждая из которых неотрицательна. Их произведение $\le 0$ возможно только если хотя бы одна из сумм равна нулю, т.е. решениями служат ровно две точки: $(1;4)$ и $(4;16)$.

2. Второе неравенство $(x-a-1)^2+(y-2a-2)^2\le 4(a+1)^2$ задаёт круг с центром $(a+1;2a+2)$ и радиусом $2|a+1|$.

3. Система не имеет решений тогда и только тогда, когда обе точки $(1;4)$ и $(4;16)$ лежат вне этого круга (строго, включая границу — там неравенство нестрогое, значит для отсутствия решений нужно строгое «>»).

4. Подставляем $(1;4)$: $(-a)^2+(2-2a)^2>4(a+1)^2 \Rightarrow a^2-16a>0 \Rightarrow a(a-16)>0$.

5. Подставляем $(4;16)$: $(3-a)^2+(14-2a)^2>4(a+1)^2 \Rightarrow a^2-70a+201>0 \Rightarrow (a-3)(a-67)>0$.

6. Решаем систему неравенств: первое даёт $a<0$ или $a>16$; второе — $a<3$ или $a>67$.

7. Пересечение множеств: при $a<0$ выполняются оба условия; при $0\le a\le16$ или $16<a\le67$ хотя бы одно нарушается; при $a>67$ оба выполняются.

Итог: $a\in(-\infty;0)\cup(67;+\infty)$.