Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Первое уравнение раскладывается на три множителя, значит его график — объединение трёх прямых: $y=3$, $y=x$, $y=-x-4$ (последняя получается из $y+x+4=0$).

Второе уравнение $(x+2)^2+(y+3a)^2=8a^2+24a+4$ — уравнение окружности с центром $(-2;-3a)$ и радиусом $R=\sqrt{8a^2+24a+4}$ (если правая часть положительна). Если она равна нулю — окружность вырождается в точку, если отрицательна — решений нет.

Заметим важную симметрию: центр окружности лежит на прямой $x=-2$, а обе наклонные прямые $y=x$ и $y=-x-4$ переходят друг в друга при отражении относительно $x=-2$ (это видно, подставив $x\to-4-x$). Значит вся картинка (три прямые и окружность) симметрична относительно прямой $x=-2$. Из-за этой симметрии число точек пересечения окружности с двумя наклонными прямыми — чётное, если ни одна точка пересечения не лежит на оси симметрии, и нечётное, если через ось симметрии проходит точка пересечения. Поэтому единственный способ получить нечётное общее число решений (5) — чтобы окружность прошла через одну из «особых» точек прямых на линии $x=-2$: точку пересечения прямых $y=x$ и $y=-x-4$ — это $A(-2;-2)$, или точку пересечения этих прямых с $y=3$ — точку $B(-2;3)$.

Подставляем координаты $A$ и $B$ в уравнение окружности и решаем относительно $a$:

Для $A(-2;-2)$: $0+(-2+3a)^2=8a^2+24a+4 \Rightarrow 9a^2-12a+4=8a^2+24a+4 \Rightarrow a^2-36a=0 \Rightarrow a=0$ или $a=36$.

Для $B(-2;3)$: $0+(3+3a)^2=8a^2+24a+4 \Rightarrow 9a^2+18a+9=8a^2+24a+4 \Rightarrow a^2-6a+5=0 \Rightarrow a=1$ или $a=5$.

Теперь проверяем каждый вариант, считая реальное число решений (пересечений окружности с тремя прямыми):

• $a=0$: центр $(-2;0)$, $R=2$ — окружность не достаёт до прямой $y=3$ (расстояние 3>2), пересекает только две наклонные прямые в точке $A$ и симметрично — всего 3 решения (не подходит).
• $a=36$: аналогично получаем 3 решения (окружность далеко от $y=3$).
• $a=1$: центр $(-2;-3)$, $R=6$ — расстояние до прямой $y=3$ равно 6, значит окружность касается её в одной точке (это точка $B$), а с каждой из наклонных прямых пересекается в двух точках, не совпадающих с $A$. Итого $1+2+2=5$ решений — подходит.
• $a=5$: центр $(-2;-15)$, $R=18$ — расстояние до $y=3$ равно 18, снова касание, и по два пересечения с каждой наклонной прямой. Итого 5 решений — подходит.

Значит условию задачи (ровно 5 решений) удовлетворяют только $a=1$ и $a=5$.