Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Первое уравнение: $\sqrt{x}(x^2-x+2)-yx^3=yx(2-x)$. Соберём правую часть: $yx^3+yx(2-x)=yx(x^2-x+2)$. Значит уравнение принимает вид $\sqrt{x}(x^2-x+2)=yx(x^2-x+2)$. Так как $x^2-x+2=(x-\tfrac12)^2+\tfrac74>0$ для всех $x$, можно смело поделить обе части на этот множитель — получаем простое равенство $\sqrt{x}=yx$.

2. Разберёмся, какие пары $(x,y)$ ему удовлетворяют. Если $x=0$, равенство верно при любом $y$ — это точка $(0,y)$. Если $x>0$, делим на $\sqrt{x}$: $1=y\sqrt{x}$, значит $y>0$ и $x=\dfrac1{y^2}$.

3. Второе уравнение — квадратное относительно $y$: $y^2+(2a-7)y+(a+2)(5-3a)=0$. По теореме, обратной теореме Виета, его корни — это $a+2$ и $5-3a$ (их сумма $7-2a$ совпадает с $-(2a-7)$, а произведение равно $(a+2)(5-3a)$). Значит уравнение равносильно совокупности $y=a+2$ или $y=5-3a$.

4. Для каждого допустимого $y$ решения по $x$: точка $(0,y)$ есть всегда, а точка $\left(\dfrac1{y^2},y\right)$ появляется дополнительно, если $y>0$.

5. Если $a+2\neq5-3a$ (т.е. $a\neq\tfrac34$), получаем две разные точки $(0,a+2)$ и $(0,5-3a)$ уже из условия $x=0$. Чтобы решений было ровно два, нужно, чтобы никакой из $y$ не давал дополнительной точки, то есть $a+2\le0$ и $5-3a\le0$. Первое даёт $a\le-2$, второе $a\ge\tfrac53$ — условия противоречат друг другу, решений нет.

6. Если $a+2=5-3a$, то $a=\dfrac34$, и оба корня совпадают: $y=\dfrac{11}{4}>0$. Тогда получаем ровно две точки: $(0,\tfrac{11}{4})$ и $\left(\dfrac1{(11/4)^2},\tfrac{11}{4}\right)=\left(\dfrac{16}{121},\tfrac{11}{4}\right)$ — то есть ровно 2 решения, как и требуется.

Следовательно, единственное подходящее значение параметра — $a=\dfrac34$.