Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Шаг 1. Общий множитель. В обоих уравнениях системы есть одинаковый множитель $|x-a|+2|y-1|-4$. Если пара $(x,y)$ удовлетворяет уравнению $|x-a|+2|y-1|-4=0$ (это ромб с центром $(a,1)$ и полудиагоналями 4 и 2, вершины $(a\pm4,1)$, $(a,3)$, $(a,-1)$), то оба уравнения системы автоматически выполняются — а значит решений становится бесконечно много. Чтобы решений было ровно 4, нужно, чтобы точки этого ромба не попадали в ОДЗ, заданную условием $y-x^2>0$ (иначе они «портили» бы счёт решений через логарифм).

Шаг 2. Условие на ромб. Область $y>x^2$ — внутренность параболы. Чтобы ромб её не касался, нужно, чтобы правая вершина $(a+4,1)$ была левее (или на) левой ветви параболы, либо левая вершина $(a-4,1)$ — правее правой ветви. Из $1=x^2$ получаем $x=\pm1$, отсюда $a+4\le-1$ или $a-4\ge1$, то есть $a\le-5$ или $a\ge5$, то есть $|a|\ge5$.

Шаг 3. Оставшаяся система. При $|a|\ge5$ множитель ромба уже не даёт лишних решений, поэтому исходная система эквивалентна системе без него, а первое уравнение раскладывается на окружность $x^2+(y-4)^2=1$ и параболу $y=x^2+1$ (с учётом ОДЗ остаётся только окружность, так как парабола лежит на границе ОДЗ).

Шаг 4. Прямая и окружность. Второе уравнение при $b=\frac{|a|}{15}$ задаёт прямую $y=b(x-4)+5$, проходящую через точку $(4,5)$. Чтобы всего было 4 решения, прямая должна пересекать окружность $x^2+(y-4)^2=1$ ровно в двух точках (парабола с прямой пересекается в одной точке, дающей нечётное число, поэтому парабола не должна учитываться — по условию ОДЗ). Условие двух пересечений — расстояние от центра $(0,4)$ до прямой меньше радиуса 1: $$\frac{|{-4b-4+5}|}{\sqrt{b^2+1}}<1 \Rightarrow |1-4b|<\sqrt{b^2+1}.$$ Возводя в квадрат: $1-8b+16b^2<1+b^2 \Rightarrow 15b^2-8b<0 \Rightarrow 0<b<\frac{8}{15}$.

Шаг 5. Возврат к $a$. Из $b=\frac{|a|}{15}$ получаем $0<|a|<8$. Совмещая с условием $|a|\ge5$, получаем $5\le|a|<8$, то есть $a\in(-8;-5]\cup[5;8)$.