Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Первое уравнение $3xy+3ax-ay-a^2-3=0$ группируем: $3x(y+a)-a(y+a)=3$, то есть $(3x-a)(y+a)=3$.

Во втором уравнении выделяем полные квадраты по $x$ и $y$: $9x^2-6ax+9y^2+18ay+7a^2-2a-17=0$ превращается в $(3x-a)^2+9(y+a)^2=3a^2+2a+17$.

Вводим новые переменные $u=3x-a,\ v=y+a$ — это линейная замена, поэтому число решений $(x,y)$ равно числу решений $(u,v)$. Система становится $uv=3,\ u^2+9v^2=3a^2+2a+17$.

Из $uv=3$ следует $u\neq0,\ v\neq0$, и $u=\dfrac{3}{v}$. Подставляя, получаем $\dfrac{9}{v^2}+9v^2=3a^2+2a+17$.

Замена $t=v^2>0$ даёт уравнение $\dfrac{9}{t}+9t=3a^2+2a+17$. Каждому $t>0$ соответствуют два значения $v=\pm\sqrt t$, а для каждого $v$ однозначно находится $u$ — значит каждое решение $t$ даёт ровно 2 пары $(u,v)$, а значит и 2 решения $(x,y)$.

Значит исходная система имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда уравнение относительно $t$ имеет ровно одно положительное решение.

Функция $g(t)=9\left(t+\dfrac{1}{t}\right)$ при $t>0$ имеет минимум $18$ (в точке $t=1$, по неравенству $t+1/t\ge2$), а на бесконечности стремится к $+\infty$ с обеих сторон. Значит уравнение $g(t)=C$ имеет ровно одно решение только при $C=18$.

Приравниваем $3a^2+2a+17=18$, то есть $3a^2+2a-1=0$. Дискриминант $D=4+12=16$, корни $a=\dfrac{-2\pm4}{6}$, то есть $a=-1$ или $a=\dfrac13$.