Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Разбираем первое уравнение. Оно распадается на произведение множителей, значит равно нулю, если один из них равен нулю (с учётом ОДЗ подкоренного выражения $8x-x^2-7\ge0$, то есть $1\le x\le7$): $$4-y-\sqrt{8x-x^2-7}=0 \quad\text{или}\quad y^2-5y+4=0.$$

2. Первый множитель. Перепишем: $y=4-\sqrt{9-(x-4)^2}$ (после преобразования подкоренного выражения). Это нижняя полуокружность радиуса 3 с центром $(4;4)$, так как из $y-4=-\sqrt{9-(x-4)^2}$ следует $(x-4)^2+(y-4)^2=9,\ y\le4$.

3. Второй множитель. $y^2-5y+4=0\Rightarrow y=1$ или $y=4$, но с учётом $1\le x\le7$ это два горизонтальных отрезка.

Итак, график первого уравнения — объединение нижней полуокружности и двух отрезков $y=1,\ y=4$ при $x\in[1;7]$.

4. Второе уравнение $y=x+a$ задаёт семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом 1, сдвигаемых по вертикали параметром $a$.

5. Считаем точки пересечения. Двигая прямую снизу вверх (увеличивая $a$), отмечаем моменты изменения числа пересечений с фигурой:

• прямая касается полуокружности снизу — одно пересечение появляется/исчезает;
• прямая проходит через угловые точки отрезков $(1;1),(1;4),(7;4),(4;1)$ — меняется число точек.

Находим критические значения:

• через точку $(1;4)$: $a=3$;
• через точку $(1;1)$: $a=0$;
• через точки $(7;4)$ и $(4;1)$ одновременно (касание излома): $a=-3$;
• касание полуокружности: подставляя точку касания $\left(4+\dfrac{3\sqrt2}{2};\,4-\dfrac{3\sqrt2}{2}\right)$ в $y=x+a$, получаем $a=-3\sqrt2$.

6. Анализ количества решений по интервалам (по возрастанию $a$): при малых $a$ решений нет, ровно два решения возникают в моменты касания ($a=-3\sqrt2$), при переходе через излом ($a=-3$) и на открытом промежутке между появлением второй точки на отрезке и уходом с него — $(0;3)$.

Таким образом, ровно два решения система имеет при $$a=-3\sqrt2,\quad a=-3,\quad 0<a<3.$$