Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Шаг 1. Разбираем уравнения системы. Уравнение $|x-a|+|y|=2$ задаёт квадрат с центром в точке $(a;0)$, повернутый на 45°: его диагонали лежат на осях, а длина стороны равна $2$. Уравнение $y=\sqrt{4-x^2}$ — верхняя полуокружность радиуса 2 с центром в начале координат.

Шаг 2. Что значит «2 решения». Нужно найти положения квадрата (то есть значения $a$), при которых он пересекает полуокружность ровно в двух точках. Меняя $a$, квадрат «скользит» по оси Ox.

Шаг 3. Крайние случаи касания вершиной. При малом сдвиге квадрат может коснуться дуги одной вершиной — это даёт 1 или 3 точки пересечения (не подходит), это происходит при $a=-4$ и $a=0$.

Шаг 4. Случай касания стороной — именно 2 точки. Две точки пересечения получаются, когда сторона квадрата касается полуокружности. Возьмём верхнюю левую сторону, её уравнение $x-y=a-2$. Расстояние от центра окружности $(0;0)$ до этой прямой должно равняться радиусу $2$: $$\frac{|{-(a-2)}|}{\sqrt{2}}=2 \;\Rightarrow\; |2-a|=2\sqrt2.$$ Поскольку сторона расположена слева ($a<0$ для этой ветки), берём $2-a=2\sqrt2$, откуда $a=2-2\sqrt2$.

Шаг 5. Симметрия. Полуокружность симметрична относительно оси Oy, поэтому для правой стороны квадрата получаем зеркальное значение: $a=2\sqrt2-2$.

Итог. Ровно два решения система имеет при $a=2-2\sqrt2$ и $a=2\sqrt2-2$.