Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Первое уравнение — произведение трёх множителей, равное нулю, значит оно задаёт объединение трёх линий: параболы $y=x^{2}+x+1$ (из $y-x^{2}-x-1=0$), одной точки $(0;0)$ (из $x^{2}-3xy+4y^{2}=0$, которое после выделения квадратов $\left(x-\tfrac32y\right)^2+\tfrac74y^2=0$ даёт только $x=y=0$) и прямой $y=-x+1$.

Второе уравнение — семейство прямых $y=(2a+1)x-a^{2}+1$. Нужно найти, при каких $a$ эта прямая пересекает объединение трёх кривых ровно в 2 точках.

Подставив прямую в уравнение параболы, получаем $x^2+x+1=(2a+1)x-a^2+1\Rightarrow (x-a)^2=0$, то есть прямая всегда касается параболы в единственной точке $(a;\,a^{2}+a+1)$ — это одна общая точка при любом $a$.

Прямая проходит через точку $(0;0)$, если $-a^{2}+1=0$, то есть при $a=\pm1$.

Сравнение угловых коэффициентов с прямой $y=-x+1$: $2a+1=-1\Rightarrow a=-1$ — при этом значении прямые параллельны (не пересекаются), в остальных случаях решаем $(2a+1)x-a^{2}+1=-x+1$ и получаем единственную точку пересечения $x=\dfrac{a^{2}}{2a+2}$.

Таким образом, всего точек пересечения: точка касания параболы + точка пересечения с прямой $y=-x+1$ (или точка $(0;0)$ при $a=-1$). Обычно эти точки различны — тогда решений ровно 2. Но:

• при $a=1$ добавляется третья отдельная точка (прямая проходит и через $(0;0)$, и пересекает $y=-x+1$, и касается параболы в другой точке) — итого 3 решения;
• при $a=0$ и $a=-2$ точка касания параболы совпадает с точкой пересечения прямой $y=-x+1$ — итого только 1 решение.

Во всех остальных случаях (включая $a=-1$, где вместо пересечения с прямой появляется точка $(0;0)$) число решений равно 2.

Следовательно, подходят все $a$, кроме $-2,\,0,\,1$.