Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Второе уравнение системы $(y-a^2-3a+18)^2+(x-6a)^2=3|a|^{-a/2}$ задаёт окружность с центром $O(6a;\,a^2+3a-18)$ и радиусом $R=\sqrt{3|a|^{-a/2}}$ (при условии, что правая часть положительна).

Первое неравенство $y^2-x^2\ge0$ раскладывается как $(y-x)(y+x)\ge0$, что равносильно объединению двух пар полуплоскостей — фактически множество точек, лежащих в паре вертикальных углов, образованных прямыми $y=x$ и $y=-x$ (там, где $|y|\ge|x|$).

Чтобы вся система (пересечение угла и окружности) имела ровно 2 решения, окружность должна касаться обеих граничных прямых одновременно — только тогда получаются ровно две точки касания, лежащие в нужной области. Если окружность пересекает хотя бы одну прямую под углом, точек будет больше или решений не будет вовсе.

Касание окружности сразу двух прямых $y=x$ и $y=-x$, симметричных относительно оси $Ox$, возможно только если центр окружности лежит на оси абсцисс (иначе расстояния до прямых будут разными). Значит, нужно $a^2+3a-18=0$, откуда $a=-6$ или $a=3$.

Для каждого корня проверяем: расстояние от центра $(6a;0)$ до прямой $y=x$ равно $\dfrac{|6a|}{\sqrt2}$, это должно равняться радиусу $R$.

При $a=-6$: центр $(-36;0)$, расстояние $=\dfrac{36}{\sqrt2}=18\sqrt2$; радиус $R=\sqrt{3\cdot6^3}=\sqrt{648}=18\sqrt2$ — совпадает, касание есть, значит два решения.

При $a=3$: центр $(18;0)$, расстояние $=\dfrac{18}{\sqrt2}=9\sqrt2$; радиус $R=\sqrt{3^{-1/2}}=\sqrt{1/\sqrt3}$ — не равен $9\sqrt2$, касания нет, значит это значение не подходит.

Следовательно, условию задачи (ровно два решения) удовлетворяет только $a=-6$.