ГлавнаяЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметром

Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

ЕГЭ Математика (профиль)Задание 18Системы с параметромКомбинация прямых

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

система выражений косинус левая круглая скобка y минус a правая круглая скобка минус 2 косинус x = 0, логарифм по основанию 2 левая круглая скобка ay минус y в квадрате правая круглая скобка = 2 логарифм по основанию 4 левая круглая скобка минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка 3y правая круглая скобка конец системы .

имеет нечетное число решений.

В подтеме 96 задач
Разбор
Главная идея: Свести систему к одному параметру‑зависимому уравнению относительно xx через тождество a−y=−3xa-y=-3x, применить формулу косинуса тройного угла, а затем анализировать чётность числа решений, сравнивая пары значений xx, дающих одинаковый остаток по модулю 2π2\pi.

Второе уравнение приводим к одному основанию 2: log⁡2(a−y)+log⁡2y=log⁡2(−x)+log⁡23+log⁡2y\log_2(a-y)+\log_2 y=\log_2(-x)+\log_2 3+\log_2 y, откуда после сокращения log⁡2y\log_2 y и учёта ОДЗ получаем равносильную систему a−y=−3x, x<0, y>0a-y=-3x,\ x<0,\ y>0.

Подставим −3x=a−y-3x=a-y в первое уравнение cos⁡(y−a)−2cos⁡x=0\cos(y-a)-2\cos x=0, то есть cos⁡(−3x)−2cos⁡x=0\cos(-3x)-2\cos x=0, и используем формулу тройного угла cos⁡3x=4cos⁡3x−3cos⁡x\cos 3x=4\cos^3x-3\cos x: 4cos⁡3x−5cos⁡x=04\cos^3x-5\cos x=0. Уравнение 4cos⁡2x=54\cos^2x=5 не имеет решений (модуль косинуса не может быть больше 1), значит остаётся cos⁡x=0\cos x=0, то есть x=π2+πk, k∈Zx=\dfrac{\pi}{2}+\pi k,\ k\in\mathbb{Z}.

Условие x<0x<0 отбирает только точки вида x=π2−πk, k∈Nx=\dfrac{\pi}{2}-\pi k,\ k\in\mathbb{N}, которые чередуются: x=3π2−2πkx=\dfrac{3\pi}{2}-2\pi k и x=π2−2πkx=\dfrac{\pi}{2}-2\pi k. Каждому такому xx соответствует единственное y=3x+ay=3x+a, и решение существует лишь при y>0y>0, то есть a>−3xa>-3x.

Число решений системы нечётно, если для некоторого kk точка x=3π2−2πkx=\dfrac{3\pi}{2}-2\pi k удовлетворяет неравенству a>−3xa>-3x, а точка x=π2−2πkx=\dfrac{\pi}{2}-2\pi k — не удовлетворяет. Записав эти два условия как двойное неравенство, получаем −9π2+6πn<a≤−3π2+6πn, n∈N-\dfrac{9\pi}{2}+6\pi n < a \le -\dfrac{3\pi}{2}+6\pi n,\ n\in\mathbb{N}.

Типичные ошибки

  • Забывают проверить ОДЗ логарифмов (y>0, x<0y>0,\ x<0), что приводит к лишним или потерянным корням.
  • Не используют формулу тройного угла, а пытаются решать уравнение cos⁡(−3x)=2cos⁡x\cos(-3x)=2\cos x напрямую, теряя корни.
  • Не учитывают, что чётность числа решений определяется сравнением пары соседних значений xx, и сразу ищут все aa, для которых существует хотя бы одно решение, а не нечётное их количество.
Непонятно?

Похожие задачи