Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

Обозначим уравнения системы: $x^2+y^2=8|x-y|+8|a|$ и $x+y=a$. Заметим, что если пара $(x;y)$ удовлетворяет системе, то и пара $(y;x)$ тоже подходит — оба уравнения не меняются при замене $x\leftrightarrow y$, так как $|x-y|=|y-x|$, а сумма $x+y$ симметрична. Значит все решения разбиваются на пары $(x;y)$ и $(y;x)$, кроме тех случаев, когда $x=y$ — такая пара самодостаточна и даёт ровно одно решение, не имеющее партнёра.

Число решений с $x\neq y$ всегда чётно (они идут парами), поэтому общее число решений нечётно тогда и только тогда, когда число решений вида $(x;x)$ нечётно.

Подставим $y=x$ в систему: $$2x^2=8|a|,\qquad 2x=a.$$ Из второго уравнения $a=2x$, значит $|a|=2|x|$. Подставляя в первое: $$2x^2=8\cdot 2|x| \;\Rightarrow\; x^2=8|x| \;\Rightarrow\; |x|(|x|-8)=0.$$ Отсюда $|x|=0$ или $|x|=8$, то есть $x=0,\ x=8,\ x=-8$.

Каждому значению $x$ соответствует единственное $a=2x$: при $x=0$ получаем $a=0$; при $x=8$ — $a=16$; при $x=-8$ — $a=-16$. Для каждого из этих $a$ уравнение даёт ровно одно решение вида $(x;x)$ — то есть нечётное (равное 1) количество «диагональных» решений, что гарантирует нечётность общего числа решений системы.

Для всех остальных значений $a$ уравнение $x^2=8|x|$, $a=2x$ не имеет решений (то есть диагональных решений 0 — чётное число), поэтому общее число решений системы для них чётно. Значит искомые значения параметра — только найденные три.