Задание 18 ЕГЭ, математика (профиль): Системы с параметром

1. Раскрываем модуль в первом уравнении $y^2-x-2=|x^2-x-2|$.

• При $x^2-x-2\ge0$ (т.е. $x\le-1$ или $x\ge2$) модуль снимается со знаком «+», получаем $y^2=x^2$, то есть пары лучей $y=x$ и $y=-x$ при этих $x$.
• При $x^2-x-2<0$ (т.е. $-1<x<2$) модуль снимается со знаком «−», получаем $(x-1)^2+y^2=5$ — дугу окружности радиуса $\sqrt5$ с центром $(1;0)$.

2. Второе уравнение $x-y=a$ задаёт прямую $y=x-a$ — семейство прямых, параллельных $y=x$, сдвинутых вдоль оси $y$.

3. Так как прямая $y=x-a$ параллельна лучам $y=x$, при $a\ne0$ она с ними не пересекается, а при $a=0$ совпадает с ними — тогда общих точек бесконечно много (более двух). Значит $a=0$ подходит.

4. При $a\ne0$ прямая может пересечь луч $y=-x$ не более чем в одной точке и дугу окружности не более чем в двух точках. Чтобы решений было больше двух, нужно одновременно пересечение с лучом $y=-x$ и с дугой в двух точках.

5. Граничные положения: прямая проходит через точку стыка луча и дуги $(-1;1)$ — тогда $a=-1-1=-2$; прямая касается окружности — подставляя $y=x-a$ в $(x-1)^2+y^2=5$, получаем $2x^2-2(1+a)x+a^2-4=0$, дискриминант равен нулю при $-a^2+2a+9=0$, откуда $a=1\pm\sqrt{10}$. Подходит меньший корень $a=1-\sqrt{10}$ (при большем прямая уходит в другую сторону).

6. Строгие неравенства нужны, так как в граничных точках количество решений равно ровно двум. Значит подходит интервал $1-\sqrt{10}<a<-2$.

Объединяя оба случая, получаем ответ.